文章编号：1283 / 更新时间：2024-12-30 10:40:07 / 浏览：次

基本公式

• 对数定义：\(log_a b = c\) 当且仅当 \(a^c = b\)
• 同一底数对数相减等于指数相除：\(log_a \frac{m}{n} = log_a m - log_a n\)
• 同一底数对数相加等于指数相乘：\(log_a mn = log_a m + log_a n\)
• 底数互换公式：\(log_b a = \frac{1}{log_a b}\)
• 底数化为指数公式：\(a^{log_a b} = b\)
• 奇偶性：奇函数
• 对称性：以直线 \(y=x\) 对称
• 解析式：\(y=log_a x\)
• 图像：横轴为正数，纵轴为实数，\(x=1\) 时，\(y=0\)，图像在点 \((1, 0)\) 处与横轴相交，图像在第一、三象限

对数函数的导数和积分

• 导数：\(\frac{d}{dx} log_a x = \frac{1}{x ln a}\)
• 不定积分：\(\int log_a x dx = x(log_a x - 1) + C\)

对数函数的应用

• 求解指数方程
• 测量声音强度
• 化学中计算 pH 值
• 经济学中计算复利
• 地震学中计算震级

练习题

• 求值：\(log_2 16\)
• 化简：\(log_5 \frac{125}{25}\)
• 求导：\(y = ln(x^2 + 1)\)
• 求不定积分：\(\int \frac{1}{x ln x} dx\)
• 已知对数方程：\(log_{x+3} (x-1) = 2\)，求解 x 的值。

答案

• 4
• 3
• \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)
• \(ln(ln x) + C\)
• x = 4

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