文章编号：1221 / 更新时间：2024-12-30 09:49:53 / 浏览：次

简介

黎曼zeta函数是解析数论中最重要的特殊函数之一。它由大数学家伯恩哈德·黎曼在1859年引入，以研究素数的分布。此后，zeta函数在数学的各个领域都有着广泛的应用，包括解析数论、代数几何、物理学和统计学。

定义

黎曼zeta函数是一个复变函数，定义为：$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}, \quad \Re(s) > 1$$其中$$\Re(s)$$表示复数$$s$$的实部。

解析延拓

zeta函数在$$\Re(s) > 1$$ 的区域内收敛，但黎曼发现它可以通过解析延拓扩展到复平面的整个区域，除了$$s=1$$点，该点是zeta函数的极点。解析延拓后的zeta函数可以表示为：$$\zeta(s) = \frac{2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}(1-s)\right)}, \quad s\neq 1$$其中 $$\Gamma(s)$$是Γ函数。

性质

解析延拓后的zeta函数具有许多重要的性质，包括：函数方程：zeta函数满足以下函数方程：$$\zeta(s) = 2^{s-1} \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$$偶对称性：zeta函数关于$$s=1/2
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