反函数求导法则及其应用 (反函数求导法则证明)

文章编号：1302 / 更新时间：2024-12-30 10:51:54 / 浏览：次
求导法则及其应用

反 函数求导法则证明

设函数 f(x) 可导，且在区间 I 上单调递增（或单调递减）。则 f(x) 在 I 上有反函数 g(x)，且 g(x) 在 I 的像上可导。对于任意 x ∈ I，有

f(g(x)) = x

对两边求导，得

f'(g(x)) g'(x) = 1

整理得

g'(x) = 1/f'(g(x))

对于可导函数 f(x) 在区间 I 上有反函数 g(x)，则 g(x) 在 I 的像上可导，其导数为：

g'(x) = 1/f'(g(x))

对于可导函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有反函数 g(x)，则

∫[a, b] f(x) dx = ∫[g(a), g(b)] g'(x) dx = g(b) - g(a)

可以利用反函数求导法则化简求导过程。例如，对于 y = sin^-1(x)，有

y = sin^-1(x)

x = sin(y)

对两边求导，得

1 = cos(y) dy/dx

整理得

相关标签：反函数求导法则及其应用、反函数求导法则证明、

本文地址：https://www.qianwe.com/article/292e3837eebb18913072.html

做上本站友情链接,在您站上点击一次,即可自动收录并自动排在本站第一位！
<a href="https://www.qianwe.com/" target="_blank">前卫目录网</a>