文章编号：1184 / 更新时间：2024-12-30 09:17:44 / 浏览：次

概述

欧拉函数，又称为欧拉φ函数，是一个数学函数，它计算小于给定正整数 n 的相对素数（又称互质数）的数量。换句话说，它计算与 n 没有公因子的正整数的数量。

定义

欧拉函数 φ(n) 被定义为：φ(n) = {n-1, n 是质数{n(1 - 1/p_1)(1 - 1/p_2) ... (1 - 1/p_k), n 是合数其中 p_1、p_2、...、p_k 是 n 的质因数。

性质

欧拉函数具有以下性质：φ(1) = 1如果 p 是质数，则 φ(p) = p-1如果 n = p_1^a_1 p_2^a_2 ... p_k^a_k，其中 p_i 是不同的质数，则 φ(n) = n(1 - 1/p_1)(1 - 1/p_2) ... (1 - 1/p_k)φ(mn) = φ(m) φ(n) 当 m 和 n 互质时φ(n) 总是偶数，除非 n = 2

应用

欧拉函数在数论中有着广泛的应用，包括：计算线性同余方程的解求解二次回归的解构造伪随机数生成器在密码学中用于密钥生成和验证

欧拉函数数列的前10项

欧拉函数数列的前10项为：1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4

计算欧拉函数

对于较小的数字，可以使用上面定义的公式手动计算欧拉函数。对于较大的数字，可以使用以下伪代码：```def phi(n):if n == 1:return 1if n == 2:return 1factors = []for i in range(2, n + 1):if n % i == 0:factors.append(i)result = nfor factor in factors:result = (1 - 1/factor)return int(result)```

结论

欧拉函数是一个重要的数学工具，在数论、密码学和计算等领域有广泛的应用。理解欧拉函数及其性质对于解决各种数学问题至关重要。
相关标签： 用于计算小于给定整数的相对素数的数量、 欧拉函数、 欧拉函数数列的前10项、 数学中的重要工具、

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