文章编号：1072 / 更新时间：2024-12-30 07:57:32 / 浏览：次

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第一章 复数

1.1 复数的定义

练习 1

• $(1+2i)+(3-4i)=4-2i$
• $(2+3i)-(1+i)=1+2i$
• $(1+2i)(3-4i)=7-8i+6i-8i^2=15+2i$
• $\frac{1+2i}{3-4i}=\frac{(1+2i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{3+8i+6i-8i^2}{9+16}=\frac{11+14i}{25}=\frac{11}{25}+\frac{14}{25}i$

练习 2

• $|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
• $|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$
• $|1+2i|^2=(1+2i)(1-2i)=1-4i^2=1+4=5$
• $|3-4i|^2=(3+4i)(3-4i)=9+16=25$

1.2 三角形式

}$ 在点 $z=i$ 处不连续

练习 2

• $f(z) = \frac{1}{z}$ 在除原点外的任何一点都连续
• $f(z) = \sin z$ 在整个复平面连续

第三章 解析函数

3.1 解析函数的定义

练习 1

• $f(z)=z^2+2z$ 在整个复平面解析
• $f(z)=\frac{1}{z-1}$ 除点 $z=1$ 外在整个复平面解析

练习 2

• $f(z)=\bar{z}$ 在整个复平面解析
• $f(z)=\frac{z}{z-1}$ 除点 $z=1$ 外在整个复平面解析

3.2 解析函数的导数

练习 1

• $f(z)=z^2+2z$ 的导数为 $f'(z)=2z+2$
• $f(z)=\frac{1}{z-1}$ 的导数为 $f'(z)=-\frac{1}{(z-1)^2}$

练习 2

• $f(z)=\bar{z}$ 的导数为 $f'(z)=-1$
• $f(z)=\frac{z}{z-1}$ 的导数为 $f'(z)=\frac{1}{(z-1)^2}$

第四章 柯西积分定理

4.1 柯西积分定理

练习 1

• 对于圆 $|z|=2$ 内的解析函数 $f(z)=z^2+1$，$$ \oint_{|z|=2} f(z) dz = \int_0^{2\pi} f(2e^{i\theta})2ie^{i\theta} d\theta = \int_0^{2\pi} (4e^{2i\theta}+2ie^{

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