文章编号：915 / 更新时间：2024-12-30 06:08:22 / 浏览：次

函数的定义域是指函数自变量 x 的所有可能取值范围。换句话说，它是函数能够接受的所有输入值。

函数的定义

函数定义为两个非空集合 A 和 B 之间的关系，满足以下条件：

• A 中的每个元素 x 都与 B 中的唯一一个元素 y 对应。
• A 是函数的定义域。
• B 是函数的值域。

函数的定义域的确定

函数的定义域通常可以通过以下方法确定：

• 代数表达式： 如果函数是由代数表达式定义的，则定义域是表达式中自变量 x 可以取的所有值，使得表达式具有实数解。
• 分段函数： 如果函数是分段定义的，则定义域是每个分段定义的集合的并集。
• 复合函数： 如果函数是两个或更多个函数的复合，则定义域是内层函数的定义域的子集，这些子集使得外层函数的输入值在内层函数的定义域内。
• 隐函数： 如果函数是由隐式方程定义的，则定义域是方程成立的所有自变量 x 的集合。

例子

• 对于函数 f(x) = x ² ，定义域是所有实数，因为自变量 x 可以取任何实数。
• 对于分段函数 f(x) = { x + 1, if x ≤ 0; x ² , if x > 0 }，定义域是所有实数。
• 对于复合函数 f(x) = sin(x ² )，定义域是所有实数，因为内层函数 x ² 的定义域是所有实数，并且外层函数 sin(x) 的定义域也是所有实数。
• 对于隐函数 y ² = x，定义域是所有使方程成立的 x 值的集合，即 x ≥ 0。

函数的限制

在某些情况下，函数的定义域可能会受到限制。例如：

• 零分母： 如果分母为 0，则分式函数未定义。
• 平方根： 平方根函数只能接受非负自变量。
• 对数： 对数函数只能接受正自变量。

结论

函数的定义域是函数的一个重要特性，因为它决定了函数的输入值范围。通过理解函数的定义域，我们可以确定函数的适用范围和限制。

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